Sucesiones numéricas

4 02 2009

 Sucesión, progresión, son términos que no nos resultan extraños.
    Por sucesión entendemos un conjunto ordenado de números reales. En cada sucesión encontraremos por tanto una serie de números, cada uno de valor distinto, y que ocupa una posición concreta.

{1; 2; 3; 4; 5;…} es una sucesión distinta a la sucesión {5; 4; 3; 2; 1;….} ya que aunque observemos los mismos valores, el orden en que se encuentran es diferente; así la primera sucesión tiene como primer término el 1, mientras que la segunda tiene como primer término el 5.

    Cada uno de los elementos que forman la sucesión, recibe el nombre de término; y cuando queremos nombrar estos valores de forma genérica, lo hacemos mediante una letra con subíndice, que nos indica la posición del término del que estamos hablando.

an 

    En la sucesión {2; 4; 6; 8;…} si hablamos del término a3 estamos nombrando al tercer elemento de la sucesión, cuyo valor es 6. Lo expresamos diciendo que:   a3 = 6

    Para dar a conocer las sucesiones, lo podemos hacer de tres formas:

  • mostrando los términos de la sucesión {1; 3; 5; 7;…}
  • mediante una frase que describa la sucesión: “El conjunto de los números naturales”
  • o por medio del término general, expresión (fórmula) que permite conocer el valor de cada  elemento dependiendo de la posición que ocupa (n).   an = 2n-1

Ejemplos.-

  • {2; 5; 8; 11;14;…}
  • {-25; -30; -35; -40;…}
  • an= n2-7n+12
  • “Los cubos de los números naturales”

Ejercicios.- Dados los cuatro valores primeros de una serie, intenta averiguar los siguientes.

  1. {5; 6; 7; 8; …}
  2. {1; 5; 25; 125; … }
  3. {3; 4; 7; 11; …}
  4. {7; 14; 21; 28; …}
  5. {30; 20; 10; 0; …}
  6. {10; 7; 4; 1; …}

    Introduce los valores en los casilleros, y pulsa en el botón para tener ayuda

PROGRESIONES

    Son las sucesiones que mayor interés tienen para nosotros, existen dos tipos:

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

    Una progresión aritmética, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia.

    De ellas podemos decir también, que si restamos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la diferencia (d).

TÉRMINO GENERAL.-

    La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones aritméticas es:

an = a1+(n-1)d

siendo     an   el término n-esimo
                a1  el primer  término
                n    la posición que ocupa el término
                d    la diferencia (valor  que separa a dos términos consecutivos)

 
Ejemplo.-
    {4; 12; 20; 28;…}
                La sucesión es una progresión aritmética, ya que la diferencia (d) entre términos consecutivos es un valor constante
        12 – 4 = 8                    20 – 12 = 8                28 – 20 = 8       es decir, la diferencia d = 8

                Podríamos razonar también que cada término se obtiene sumando una cantidad  (d) constante al anterior
            12 = 4 + 8             20 = 12 + 8                   28 = 20 + 8                 

SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a1) el último (an) y el número de términos que intervienen (n)

suma n términos prog aritmética

Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {4; 12; 20; 28;…}, la obtenemos calculando primero el término 10

a10 = a1 + (10-1)8 = 4 + 9 . 8 = 76

 

S10 = (4 + 76 ) . 10 / 2  
S10 = 400

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.-

    Una progresión geométrica, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón.

    De ellas podemos decir también, que si dividimos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la razón (r).

TÉRMINO GENERAL.-

    La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones geométricas es:

an = a1 rn-1

siendo     an   el término n-esimo
                a1  el primer  término
                n    la posición que ocupa el término
                r    la razón (valor que es el resultado de dividir dos términos consecutivos)

Ejemplo.-
    {2; 4; 8; 16;…}
                La sucesión es una progresión geométrica, ya que al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante
        4 / 2 = 2                    8 / 4 = 2                16 / 8 = 2      es decir, la razón es r = 2

                Podríamos razonar también que cada término se obtiene multiplicando por una cantidad  (r) constante al anterior
            2 . 2 = 4             4 . 2 = 8                   8 . 2 = 16                

SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a1), el último (an) y la razón (r) además del número de términos que intervienen (n), o como muestra la segunda expresión, si conocemos el primer término (a1) la razón (r) y el número de términos que intervienen (n)

Suma n términos prog geométrica

Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {1; 2; 4; 8;…}, la podemos obtener con el primer término y conociendo la razón (r =2)

S10 = (1 . 29 – 1) / (2 – 1) =  511

 

S10 = 511

SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    En algunos casos podemos averiguar cual va a ser su valor de una forma sencilla. Según sea el valor de la razón, podemos hablar de tres casos:

  • Si  -1 > r >1    ================-1——-0——-1=====================

    Cuando la razón tiene un valor absoluto mayor que la unidad, el resultado de sumar sus infinitos términos, es siempre infinito ( ).

Ejemplo.- {3; 9; 27; 81; …}                3 + 9 + 27 + 81 + … =

  • Si r = -1             ———————–-1————————————————–

    En este caso cada uno de los términos y el que le sigue, son siempre opuestos, de ahí que la suma tendrá que ser cero (0)

Ejemplo.- {3; -3; 3; -3; …}                    3 – 3 +  3 – 3 + 3 – 3 + … = 0        lo podemos expresar  de forma genérica
                {a1; -a1; a1; -a1; …}                a1 -a1 + a1 -a1 + a1 -a1 +… = 0

  • Si   -1 < r <1       ———————–-1=====0=====1——————————–

    Cuando la razón tiene un valor absoluto menor que la unidad, el resultado lo podemos obtener mediante la expresión que conocemos , que podemos desglosar en dos sumandos, .

    Si consideramos que un valor menor que la unidad (la razón en este caso) al elevarla a las distintas potencias se va haciendo menor, podremos decir que r = 0, en cuyo caso el primero de los sumandos será también nulo, quedando la expresión:

COMPARANDO.-
  • Definiciones

    Es importante que apreciemos la diferencia entre ambos tipos de progresiones, y para hacerlo nada mejor que comparar las definiciones dadas.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia. Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón.

    Podemos observar que difieren, como definición, en un par de palabras.

  • Series

 

Números Naturales
Aritmética d=1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2Núm. Naturales
Geométrica r= 2
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

Vamos a hacer multiplicaciones “sin multiplicar”.

  1. Tomemos dos números de la segunda fila, que deseemos multiplicar   
  2. Leamos en la primera fila los números que les corresponden
  3. Sumemos estos últimos
  4. Localicemos este número en la primera fila, y leeremos el resultado justo debajo.
2 x 8

1
   3
4

16

Repite el proceso con otros dos números, p.e. multiplicar 8 x 64 = 512

Esta comparación permitio a  NEPER John (1550-1617) inventar los logaritmos.  

SUCESIONES RARAS
Vamos a llamar así a las sucesiones que no resulta fácil encontrar su término general.
Una forma de actuar podría ser la que sigue, y que mostramos con algunos ejemplos. Comprobaremos primero que existe una constancia, un patrón en la creación de los sucesivos  términos mediante diferencias entre sus valores.
Realizada la comprobación, probamos  fórmulas no lineales, del tipo n2, n3, 1/n
, etc. y combinaciones de ellas.
Ejemplo 1.-
Averiguar el término general de la sucesión    {-1 ; 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; …}          
                                       
Escribiremos primero los valores en la posición que les corresponde:
orden n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
valor an -1 0 3 8 15                        
Calculemos ahora la diferencia entre cada término y el anterior (primera diferencia):
bn 1ª dif de valor an-an-1   1 3 5 7                        
Repetimos el proceso con los valores de estas primeras diferencias:
2ª dif de valor bn-bn-1     2 2 2                        
Como vemos, aparece una constancia.
Probamos entonces expresiones del tipo que aparecen en la columna de la izquierda.
 n   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
  n2   1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289
n(n+1)   2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240 272 306
n(n-1)   0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240 272
n(n+2)   3 8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195 224 255 288 323


n(n-2)
 
-1 0 3 8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195 224 255
                                   
Si observamos la última fila, hemos llegado a obtener, la sucesión cuyo término general buscamos.
an = n(n-2)= n2 – 2n

Ejemplo 2.-
Averiguar el término general de la sucesión    {1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; …}          
                                       
Escribimos los valores en la posición que les corresponde:
orden n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
valor an 1 3 6 10 15                        
Calculemos ahora la diferencia entre cada término y el anterior (primera diferencia):
bn 1ª dif de valor an-an-1   2 3 4 5                        
Repetimos el proceso con los valores de estas primeras diferencias:
2ª dif de valor bn-bn-1     1 1 1                        
Como vemos, aparece una constancia, lo que pone de manifiesto ala existencia de algún patrón.
Probamos entonces expresiones del tipo que aparecen en la columna de la izquierda.
 n   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
  n2   1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289


n(n+1)
2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210
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